高数上-笔记
第1章-函数，极限，连续
单调性，周期性，奇偶性
知识点1
已知F(x)，则其f(x)只有一个；
已知f(x)，则其F(x)有无数个。
知识点2
知识点3
偶函数加常数还是偶函数
奇函数加常数就不是奇函数
知识点4
知识点5
常见奇函数：y=sinx，y=tanx，y=arcsinx，y=arctanx，y=x奇数，f(x)-f(-x)
常见偶函数：y=C，y=cosx，y=x偶数，f(x)+f(-x)
知识点6
奇偶性性质：乘除，同偶异奇，加减，同恒异非
复合函数：内偶则偶，内奇则外（也就是内层外层都是奇才是奇）
例题
函数，定义域
公式
- y=lnx，则x=ey
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220708113114.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220708112921.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220625225010.png","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220625230418.png","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710161312.jpg","alt":""}]
知识点1
知识点2
定义域是x取值范围，值域是y的取值范围
一些计算注意
一元二次不等式解法
① 判断二次项数是否为正，如果不为正则将不等式 两边同时乘-1
② 把不等式化成 y=ax2+bx+c 的形式，解出 x1,x2
公式法：
十字相乘法
③ 算出后，大于取两边，小于取中间
2
常见公式，表
公式1
- 在 3.4 有三角函数的公式
- 注：sin2x=2cosxsinx
-
需要注意当
x->0时这些也成立：1-ex ~ -x
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626175200.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220713105537.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220713123607.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220726215637.jpg","alt":""}]
图像
- cosx，sinx 的图像
- 图像是一样的但是两者图像相差
π/2 sinx图像经过原点，cosx图像不经过原点（sin0=0,cos0=1）
这里图像注释错调转了注意
- y2=x 与 y=x-2 图像
- y=x2 的图像
- y=根号x 图像
- y=lnx 图像
考虑左右极限的图像
- 1/x 的图像
性质：
x→0时：
x→0+，1/x→+∞
x→0-，1/x→-∞
- y=ex 的图像
性质：
x→∞时：
x→+∞，ex→+∞
x→-∞，ex→0
- arctanx 的图像
性质：
x→∞时：
x→+∞，arctanx→π/2
x→-∞，arctanx→-π/2
极限
知识点1
知识点2
求极限：∞/∞型
方法：
① 找出无穷大的项
② 找出各个无穷大项的指数
③ 分子与分母上，只保留指数最大的无穷大项，去掉其他项
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626150605.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626151540.jpg","alt":""}]
- 有时候分母是 (n+C)a-na 形式，需要变成-> C·a·na-1+(指数更小的项) 再进行方法
例题：
求极限：∞-∞型
做题思想：通分或者有理化
方法：
求极限：0/0型
做题思想：利用等价无穷小公式
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626173829.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626175603.jpg","alt":""}]
求极限：∞·0型
方法： 下放
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626181750.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626182618.jpg","alt":""}]
求极限：uv型
方法：
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626185838.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626190746.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626191706.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220626195522.jpg","alt":""}]
左右极限
知识点1
需要求左右极限的情形：
① 分段函数（如 带 绝对值 的函数），在分段点处的函数
② 数g(x) 的分母为 0 处的极限
③ arctan g(x) 在 g(x) 的分母为 0 处的极限
知识点2
极限存在 ≡ 左右极限存在且相等
方法：
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627111809.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627112223.jpg","alt":""}]
极限的拆分
知识点1
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627121746.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627122906.jpg","alt":""}]
方法：
例题：
无穷小的比较，函数关系
方法：
例题：
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627131038.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220627132035.jpg","alt":""}]
无穷小与函数极限之间的关系
方法：
例题：
利用极限的保号性判定极值点
类型1方法：
例题：
- 因为
cosx图像范围是[1,-1]，但是这里x只能接近0不能等于0，所以x只能取<1部分，所以整个式子都是正的
类型2方法：
例题：
- 因为
sinπ=0，所以小于π相当于是大于0部分，大于π相当于小于0部分
求函数的渐近线
方法：（注意垂直渐近线只要任意边极限有渐进即可，水平渐近线则可能需要求左右极限因为-∞不存在渐近线时，+∞可能存在）
例题：
利用夹逼定理求数列极限
定义：
例题：
分子固定的
分子非固定（这里写错了应该是 n趋向于∞）
有限项（这里写错了应该是 n趋向于∞）
叠乘项
证明单调有界数列的极限存在
类型1（相乘/相加）
方法：
例题：
证明连续，已知连续求未知参数
方法：
例题：
零点定理
定义
例题：
介值定理推论
定义
例题：
间断点
间断点及其类型
例题：
附1 第1章习题
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710173458.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710174508.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710181258.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710183326.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220710184948.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711124224.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711131411.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711134620.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711143856.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711145820.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711150120.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711150710.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711151531.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711153052.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711155218.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711155441.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711190652.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220711190716.jpg","alt":""}]
第2章-一元函数微分学
判断函数在某点的可导性
知识点1
左导与右导
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712111231.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712112005.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712121642.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712134408.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220724185117.jpg","alt":""}]
- 可能是不可导点：
分段函数分段处和分母为0的点
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712135239.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712140048.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712140908.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220712174449.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220713091544.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220713092004.jpg","alt":""}]
一般函数,复合函数求导
定义求导(适用于分段函数)
方法：
复合函数求导
知识点1
遇到幂指数函数求导(单个y=uv)，可以 两边同时取对数，也可以化成 uv=evlnu
遇 y=uv +/- g(x) ，只可用 uv=evlnu
隐函数求导
高阶导数
类型一：多为 f(x)=b/x+a
类型二：多为分子分母都含有x，但能拆成好算的式子相加减
类型三：f(x) 由两部分相乘
类型四：f(x) 中包含 sink，cosk，sin·cos
类型五：如果 f(x) 是偶函数，求 f(奇数)(0)，则不用算直接说 f(奇数)(0)=0
利用导数定义求极限
方法：
变化1，2
参数方程求导
反函数求导
求函数极值
- 这种类型直接凑让 y‘=0 的x或y，再判断 y’'>0还是<0判断存在极大值还是极小值
求函数最值
求函数图像的凹凸区间，拐点
切线方程，法线方程
类型一：在直角坐标系下
类型二：在极坐标系下
单调区间与极值关系,单调性比较大小
单调区间与极值关系
利用单调性比较大小
单调区间,极值点,凹凸区间,拐点,切线斜率在函数图像上的反映
方法：
例题：
分析：
根据已知变化率求变化率
证明不等式
类型一：不等式有两个未知数
类型二：不等式里只有x一个未知数
类型三：已知某关于f’(x)的式子>0或<0，判断选项（选择题）
方法：
例题：
利用拉格朗日中值定理证明不等式
定理介绍
有一个曲线它在范围内 连续并且可导，此时如果随便在曲线上取两个点并且作一条直线穿过，那么我们一定可以在这两个点之间的曲线中找到一个点，使 该点上的切线与我们两个点的直线平行，写成公式：
f(b)-f(a) = f’(ξ)·(b-a)
例题：
罗尔中值定理
定义
罗尔定理证明等式成立
柯西中值定理
定义
例题：
泰勒公式
泰勒公式记忆
公式
例题：（一般用来求极限，和展开）
曲率
附1 第2章习题
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719091402.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719092015.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719092824.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719092959.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719093412.jpg","alt":""}]
第3章-一元函数积分学
求简单的不定积分
什么是不定积分
可以理解为求导数的 原函数+C
∫ f(x)dx = F(x)+C 等价于 F’(x)=f(x)
先积后导等于本身，先导后积等于本身+C
不定积分的性质
注意：k不能为0！！！
例题：
直接积分法
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719145503.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220719164939.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220720095051.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220720104416.jpg","alt":""}]
第一类换元法(凑微分)
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220720194529.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220720213606.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220720215412.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220721101012.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220721135325.jpg","alt":""}]
3.4 第二类换元法
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220722103134.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220722123201.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220722133949.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220722143025.jpg","alt":""}]
分部积分法
定积分性质
定义，几何意义，比较大小
变限积分求导
变上限积分：上限是变量，下限是常数（变下限积分转换成变上限积分只需添加负号）
定积分的计算公式
定积分–偶倍奇零
定积分-点火公式
定积分换元法
无穷区间的广义积分(反常积分)
极限存在，称反常积分收敛，极限不存在（为无穷），称反常积分发散
分段函数定积分
定积分的等式证明
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725110445.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725114933.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725132730.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725140159.jpg","alt":""}]
定积分的几何应用
平面图形的面积
[{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725144439.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220725183921.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220726101809.jpg","alt":""},{"url":"https://image-1309791158.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/其他/QQ截图20220726113240.jpg","alt":""}]
旋转体的体积
- 题型是②，f(y)取x关于y的表达式（x=…形式）
- f(x)是高度意思看y轴，f(y)是长度意思看x轴
弧长
定积分的物理应用
